"Mit ihm verliert Bremen einen großen Kulturförderer und Ehrenbürger", teilte die CDU Bremen mit, am deren Spitze er lange Zeit stand. Der Unternehmer übernahm von seinem Vater den Sanitär- und Heizungsgroßhandel Cordes & Graefe. 1974 wurde Hollweg Landesvorsitzender der Bremer CDU. Er gab das Amt fünf Jahre später aus Protest gegen die Nominierung des CSU-Politikers Franz-Josef Strauß als Kanzlerkandidaten der CDU/CSU auf und geriet damit bundesweit in die Schlagzeilen.
Im Ruhestand gründete Hollweg gemeinsam mit seiner Ehefrau die Karin und Uwe Hollweg Stiftung, die bundesweit und besonders in Bremen die Kunst, Kultur und Denkmalpflege unterstützt. Das Ehepaar ermöglichte unter anderem den Anbau der Bremer Kunsthalle und das Museum Weserburg. 2003 verlieh der Senat Uwe Hollweg die Bremer Ehrenbürgerschaft. 2012 gliederte das Paar seine Privatsammlung, die aus über 1000 Werken unter anderem von Wols, Mark Tobey, John Cage oder Richard Hamilton besteht, in die Stiftung ein.
Die Kunsthalle Bremen nannte in einer Mitteilung anlässlich des Todes des Kunst-Mäzens die Hollweg Stiftung die wichtigste private Förderinstitution für die Kultur in Bremen und über Bremen hinaus. Für die langjährige Unterstützung sei die Kunsthalle sehr dankbar. "Die durch die Stiftung geförderten Projekte sind seit vielen Jahren entscheidend für die kulturelle Strahlkraft der Hansestadt Bremen". Hollweg bleibe untrennbar mit dem Kunstverein und der Sammlung der Kunsthalle Bremen verbunden, hieß es.